SERIES DE NÚMEROS REALES

1
Introducción

1.1  Definiciones Previas

Definición 1 Si {an}n=1¥ es una sucesión de números reales, se llama serie de números reales a

¥
å
n=1 
an=a1+a2+¼+an+¼
Si existe y es finito

lim
n® ¥ 
An=
lim
n® ¥ 
(a1+a2+¼+an)

se dice que la serie converge y se llama suma de la serie al valor de dicho límite.
Si la serie no converge se dice que es divergente1.

Proposición 2 (Condición necesaria de convergencia).

å
an converge Þ
lim
n® ¥ 
an=0


1.2  Series Tipo

1.2.1  Serie armónica generalizada


å
 1

na

1.2.2  Serie geométrica


å
arn-1

2
Estudio del carácter de una serie

  1. El carácter de una serie no varía si se suprime un número finito de términos, o si se multiplican todos los términos por una constante finita distinta de cero.
  2. La suma o resta de series convergentes es, a su vez, convergente.


2.1  Criterios de comparación para series de TÉRMINOS POSITIVOS

Si

å
tn

es una serie de carácter conocido (en general, una serie tipo) y se quiere conocer el carácter de
å
an

, son muy útiles los siguientes criterios:

2.1.1  Criterios de comparación

2.1.2  Criterio del límite

2.1.3  Criterio de Pringsheim


2.2  Criterios particulares para series de TÉRMINOS POSITIVOS

2.2.1  Criterio de Cauchy (de la raíz)

Se utiliza cuando en la serie aparecen potencias enésimas

2.2.2  Criterio de d'Alembert (del cociente)

Se utiliza cuando en la serie aparecen factoriales, o productos de series.

2.2.3  Criterio de Raabe

Se utiliza cuando no funcionan los criterios de Cauchy y d'Alembert

2.2.4  Criterio logarítmico

Se utiliza cuando aparecen logaritmos

2.2.5  Criterio integral

Se utiliza en los exámenes, cuando no funcionan los demás criterios

Sea y=f(x) una función continua, positiva y creciente para cada x ³ 1 . Y sea an=f(n)

2.3  Criterio para series ALTERNADAS (de Leibniz)

Definición 1 Una serie alternada es una del tipo

å
(-1)nan

Proposición 2 Esta serie es convergente si, y sólo si, se cumplen:



  1. lim
    n® ¥ 
    an=0

  2. {an} es decreciente

3
Ampliación

Definición 3 [formal] Se llama serie

å
an

a un par ordenado de sucesiones,
å
an=((an),(sn))

, en el que
sn= n
å
j=1 
aj

es la n-ésima suma parcial.

Proposición 4 (condición de Cauchy). Una serie

å
an

es convergente si y sólo si para cada e > 0 existe n0 Î \mathbbmN tal que "n ³ n0 se tiene que
ê
ê
p
å
j=1 
aj+n ê
ê
< e
para cada p Î \mathbbmN,p ³ 1 .

Si

s= å
an

y
t= å
bn

son dos series convergentes y a,b son dos números reales, se verifica que la serie de término general aan+bbn converge. Además, se tiene que
å
(aan+bbn)=as+bt

3.1  Convergencia absoluta

Definición 1 Una serie de números reales

å
an

es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos
å
|an|

es convergente.
Si una serie es convergente, pero no es absolutamente convergente entonces se dice que es condicionalmente convergente.

Proposición 2 (Propiedades básicas) 

  1. Toda serie absolutamente convergente es convergente.
  2. Si
    s= å
    an

    y
    t= å
    bn

    son dos series absolutamente convergentes y a,b son dos números reales, se verifica que la serie de término general aan+bbn converge absolutamente.

3.2  Más criterios de convergencia

3.2.1  Criterio de condensación de Cauchy

Aunque no lo parezca, es un criterio muy importante que se puede utilizar en muchos casos, principalmente cuando aparezcan potencias o logaritmos.

Sea (an) una sucesión decreciente de números reales positivos. Entonces, la serie

å
an

es convergente si y sólo si lo es la serie condensada
å
2na2n

.

3.2.2  Criterio de Dirichlet

Se utiliza cuando en la serie aparecen productos.

Sean (un) y (vn) dos sucesiones de números reales que cumplen:

La sucesión de sumas parciales

æ
è
n
å
j=1 
uj ö
ø

n 

está acotada,

la sucesión (vn) es decreciente y converge a cero.

Entonces

å
unvn

es convergente.

3.2.3  Criterio de Abel

Se utiliza cuando en la serie aparecen productos.

Sean (un) y (vn) dos sucesiones de números reales que cumplen:


å
un

es convergente,

La sucesión (vn) es monótona convergente.

Entonces

å
unvn

es convergente.

Notas:

1Dar el carácter de una serie es decir si es convergente o divergente